-- Cours/Projet - AERO-I3 --

Mécanique Spatiale

Step 1 - Quitter la terre

Le Lanceur et le lancement

simon.marie@lecnam.net

L'objectif de cette séance est d'étudier la trajectoire terrestre contenant la phase de lancement d'un objet céleste (sonde ou satellite) devant quitter l'orbite terrestre. Il s'agit de comprendre les éléments importants intervenant dans le pré-dimensionement d'un lanceur et les contraintes engendrées par l'extraction de l'atmosphère terrestrte.

In [1]:
import numpy as np
import pandas as pd
import plotly.express as px

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('ggplot')
#Option pour afficher les figures dans le notebook et eviter le plt.show():
%matplotlib inline  
fs=14
plt.rc('xtick',labelsize=fs)
plt.rc('ytick',labelsize=fs)
In [ ]:
# Constante célestes:
G=6.67408e-11 # Constante de gravitation - 
Rt=6380000 # Rayon terrestre - m
Ms=1.9884e30 # Masse du soleil - kg
Mt=5.9722e24 # Masse de la terre - kg
a_t=1.47e11 # demi grand axe orbite terrestre - m
a_s= 1.426e12 # demi grand axe orbite saturne - m
g0=9.81

1 - Quitter l'attraction terrestre

On rapelle rapidement que la seconde loi de Newton appliquée à un objet soumis à une seule force de gravitation permet de retrouver la 3eme Loi de Kepler:

$$ \dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{\mu} $$

La vitesse d'injection sur une orbite ayant pour périgée $r_p$ et pour demi grand axe $a$ est donnée par: $$ V_p^2=2\mu \left(\dfrac{1}{r_p}-\dfrac{1}{2a}\right) $$

A partir de cette formule, calculer les vitesses suivantes:

  • $V_s$ Vitesse de l'orbite circulaire à $200$km d'altitude. ($a=r=R_t+z$)
  • $V_g$ Vitesse d'injection sur l'orbite de tranfert géostationnaire GTO ($r=R_t+400$km et $T=86164$s).
  • $V_l$ Vitesse qu'un objet doit acquérir pour quitter l'orbite terrestre à $222$km d'altitude. ($a\rightarrow \infty$)
In [ ]:
Vs=...;print('Vs=',Vs)
T=86164
aGO=...
Vg=...;print('Vg=',Vg)
Vl=...;print('Vl=',Vl)

2 - Propulsion

2.1 - Impulsion spécifique

Pour atteindre de telles vitesses, il est nécessaire d'apporter de l'énergie au système. Pour ce faire, on utilise des moteurs spatiaux pouvant utiliser différentes technologies. Un paramètre important permettant de caractériser cette technologie est l'impulsion spécifique. Cette grandeur correspond à un temps (en seconde) et correspond au ratio entre la poussé produite (En Newton) et le poid d'ergol (ou de carburant) consommé par seconde (Newton/secondes):

$$ ISP=\dfrac{F_p}{qg_0} $$

En pratique, plus l'impulsion spécifique est grande plus le moteur est performant. A poussé égale, le moteur ayant la plus grande ISP consommera moin de carburant et a consommation égale, le moteur ayant la plus grande ISP produira la plus forte poussé.

Pour permettre une comparaison fiable, on donne souvent une valeur de l'ISP dans le vide et on utilise les grandeur au niveau de la mer ($g_0=\mu/R_t^2$). Ainsi la poussé d'un moteur spatial est souvent notée:

$$ F_p=qV_e=qg_0I_{sp}=-\dfrac{dm}{dt}g_0I_{sp} $$

Attention: Pour le pré-dimensionement des missions spatiales dans vos projets, l'ISP d'un moteur de technologie donnée est mesurée sur terre. Ainsi la valeur de l'ISP fourni sera toujours associée à la valeur de $g_0$ de la terre même si ce moteur est utilisé sur une autre planète.

Voici la répartition des différentes technologies en fonction de leur ISP et de leur masse:

In [2]:
Engines=pd.read_csv('Rocket_Engines.dat',delimiter=' ')
fig=px.scatter(Engines, x="ISP(s)", y="Mass(kg)", color="Combustion",log_y=True,text='Name',
           color_discrete_sequence=["blue","green", "gray", "goldenrod", "red"])
fig.update_traces(textposition='top left',textfont=dict(color='#E58606'))